Thế giới đầy rẫy những hình dạng như vậy—những hình dạng trông phẳng đối với một con kiến ​​sống trên đó, mặc dù chúng có thể có cấu trúc tổng thể phức tạp hơn. Các nhà toán học gọi những hình dạng này là đa tạp. Được Bernhard Riemann giới thiệu vào giữa thế kỷ 19, đa tạp đã thay đổi cách các nhà toán học suy nghĩ về không gian. Nó không còn chỉ là một môi trường vật lý cho các đối tượng toán học khác, mà là một đối tượng trừu tượng, được định nghĩa rõ ràng, đáng để nghiên cứu một cách độc lập.

Góc nhìn mới này cho phép các nhà toán học khám phá một cách nghiêm túc các không gian đa chiều hơn—dẫn đến sự ra đời của tôpô học hiện đại, một lĩnh vực chuyên nghiên cứu các không gian toán học như đa tạp. Đa tạp cũng đóng vai trò trung tâm trong các lĩnh vực như hình học, hệ động lực, phân tích dữ liệu và vật lý.

Ngày nay, chúng cung cấp cho các nhà toán học một vốn từ vựng chung để giải quyết đủ loại vấn đề. Chúng có tầm quan trọng cơ bản đối với toán học cũng như bảng chữ cái đối với ngôn ngữ. “Nếu tôi biết bảng chữ cái Cyrillic, liệu tôi có biết tiếng Nga không?” Fabrizio Bianchi , một nhà toán học tại Đại học Pisa ở Ý, nói. “Không. Nhưng hãy thử học tiếng Nga mà không học bảng chữ cái Cyrillic xem sao.”

Vậy đa tạp là gì, và chúng cung cấp loại từ vựng nào?

Ý tưởng dần hình thành

Trong hàng thiên niên kỷ, hình học có nghĩa là nghiên cứu các đối tượng trong không gian Euclid, không gian phẳng mà chúng ta nhìn thấy xung quanh. José Ferreirós, một nhà triết học khoa học tại Đại học Seville ở Tây Ban Nha, cho biết: “Cho đến những năm 1800, ‘không gian’ có nghĩa là ‘không gian vật lý’ – tương tự như một đường thẳng trong một chiều, hoặc một mặt phẳng trong hai chiều.”

Trong không gian Euclid, mọi thứ hoạt động như mong đợi: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ là một đường thẳng. Tổng các góc của một tam giác bằng 180 độ. Các công cụ của phép tính vi phân và tích phân đều đáng tin cậy và được định nghĩa rõ ràng.

Nhưng đến đầu thế kỷ 19, một số nhà toán học đã bắt đầu khám phá các loại không gian hình học khác—những không gian không phẳng mà cong như hình cầu hoặc hình yên ngựa. Trong những không gian này, các đường thẳng song song cuối cùng có thể giao nhau. Tổng các góc của một tam giác có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn 180 độ. Và việc thực hiện phép tính vi phân và tích phân có thể trở nên ít đơn giản hơn nhiều.

Cộng đồng toán học đã rất khó khăn để chấp nhận (hoặc thậm chí hiểu) sự thay đổi này trong tư duy hình học.

Nhưng một số nhà toán học muốn phát triển những ý tưởng này xa hơn nữa. Một trong số đó là Bernhard Riemann, một chàng trai trẻ nhút nhát, ban đầu dự định học thần học—cha anh là một mục sư—trước khi bị thu hút bởi toán học. Năm 1849, anh quyết định theo đuổi bằng tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Carl Friedrich Gauss, người đã nghiên cứu các thuộc tính nội tại của đường cong và mặt phẳng, độc lập với không gian xung quanh chúng.

Bernhard Riemann được xem là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử. Công trình của ông đã cách mạng hóa hình học, tôpô học, lý thuyết số và nhiều lĩnh vực khác.

Năm 1854, Riemann được yêu cầu thuyết trình để đảm bảo một vị trí giảng dạy tại Đại học Göttingen. Chủ đề được giao cho ông: nền tảng của hình học. Vào ngày 10 tháng 6, bất chấp nỗi sợ nói trước công chúng, ông đã mô tả một lý thuyết mới, trong đó ông khái quát hóa các ý tưởng của Gauss về hình học của các bề mặt cho số chiều bất kỳ (và thậm chí là số chiều vô hạn).

Gauss ngay lập tức ấn tượng với bài giảng, không chỉ đề cập đến toán học mà còn cả triết học và vật lý. Nhưng hầu hết các nhà toán học đều thấy những ý tưởng của Riemann quá mơ hồ và trừu tượng để có thể sử dụng được nhiều. "Nhiều nhà khoa học và triết gia đã nói, 'Điều này thật vô nghĩa'", Ferreirós nói. Và vì vậy, trong nhiều thập kỷ, tác phẩm này phần lớn bị bỏ qua. Bài giảng của Riemann không được xuất bản cho đến năm 1868, hai năm sau khi ông qua đời.

Nhưng đến cuối thế kỷ 19, những nhà toán học vĩ đại như Henri Poincaré đã nhận ra tầm quan trọng của các ý tưởng của Riemann. Và vào năm 1915, Albert Einstein đã sử dụng chúng trong thuyết tương đối rộng của mình, đưa chúng ra khỏi lĩnh vực trừu tượng triết học và vào thế giới thực. Đến giữa thế kỷ 20, chúng đã trở thành một yếu tố cơ bản trong toán học.

Riemann đã giới thiệu một khái niệm có thể bao quát tất cả các hình học khả thi, trong bất kỳ số chiều nào. Một khái niệm sẽ thay đổi cách các nhà toán học nhìn nhận không gian.

Một ống góp.

Lãnh thổ được lập bản đồ

Thuật ngữ “đa dạng” (manifold) xuất phát từ từ Mannigfaltigkeit của Riemann , trong tiếng Đức có nghĩa là “sự đa dạng” hoặc “tính bội”.

Đa tạp là một không gian trông giống không gian Euclid khi bạn phóng to vào bất kỳ điểm nào của nó. Ví dụ, một hình tròn là một đa tạp một chiều. Phóng to bất kỳ điểm nào trên đó, nó sẽ trông giống như một đường thẳng. Một con kiến ​​sống trên hình tròn sẽ không bao giờ biết rằng nó thực sự là hình tròn. Nhưng nếu phóng to vào hình số tám, ngay tại điểm giao nhau của các đường thẳng, nó sẽ không bao giờ trông giống như một đường thẳng. Con kiến ​​sẽ nhận ra tại điểm giao nhau đó rằng nó không ở trong không gian Euclid. Do đó, hình số tám không phải là một đa tạp.

Tương tự, trong không gian hai chiều, bề mặt Trái Đất là một đa tạp; nếu phóng to đủ xa bất kỳ điểm nào trên đó, nó sẽ trông giống như một mặt phẳng hai chiều. Nhưng bề mặt của một hình nón kép — một hình dạng bao gồm hai hình nón được nối với nhau ở đỉnh — thì không phải là một đa tạp.

Các đa tạp giải quyết một vấn đề mà các nhà toán học sẽ phải đối mặt: Các thuộc tính của một hình dạng có thể thay đổi tùy thuộc vào bản chất và chiều của không gian mà nó tồn tại (và vị trí của nó trong không gian đó). Ví dụ, đặt một sợi dây lên bàn và nối hai đầu lại với nhau mà không nhấc nó lên. Bạn sẽ có một vòng đơn giản. Bây giờ hãy giữ sợi dây trong không khí và buộc hai đầu lại với nhau. Bằng cách xem xét sợi dây trong không gian ba chiều, bạn có thể luồn nó qua lại giữa các đầu trước khi nối hai đầu, tạo ra đủ loại nút thắt ngoài vòng đơn giản. Tất cả chúng đều biểu diễn cùng một đa tạp một chiều—sợi dây tạo thành vòng—nhưng chúng có các thuộc tính khác nhau khi được xem xét trong không gian hai chiều so với ba chiều.

Các nhà toán học tránh những sự mơ hồ như vậy bằng cách tập trung vào các thuộc tính nội tại của đa tạp. Thuộc tính xác định của đa tạp—rằng tại bất kỳ điểm nào, chúng đều trông giống không gian Euclid—vô cùng hữu ích ở khía cạnh này. Bởi vì có thể xem xét bất kỳ phần nhỏ nào của đa tạp dưới dạng không gian Euclid, các nhà toán học có thể sử dụng các kỹ thuật tính toán truyền thống để, chẳng hạn, tính diện tích hoặc thể tích của nó, hoặc mô tả chuyển động trên đó.

Để làm điều này, các nhà toán học chia một đa tạp cho trước thành nhiều phần chồng chéo và biểu diễn mỗi phần bằng một “bản đồ”—một tập hợp gồm một số tọa độ (bằng với chiều của đa tạp) cho biết vị trí của bạn trên đa tạp. Điều quan trọng là, bạn cũng cần phải viết ra các quy tắc mô tả mối quan hệ giữa các tọa độ của các bản đồ chồng chéo với nhau. Tập hợp tất cả các bản đồ này được gọi là một tập bản đồ (atlas).

Sau đó, bạn có thể sử dụng tập bản đồ này—với các biểu đồ chuyển đổi các vùng nhỏ hơn của đa tạp phức tạp tiềm năng của bạn thành không gian Euclid quen thuộc—để đo lường và khám phá đa tạp từng phần một. Nếu bạn muốn hiểu cách một hàm hoạt động trên một đa tạp, hoặc nắm được cấu trúc tổng thể của nó, bạn có thể chia nhỏ vấn đề thành nhiều phần, giải quyết từng phần trên một biểu đồ khác nhau, trong không gian Euclid, và sau đó ghép nối các kết quả từ tất cả các biểu đồ trong tập bản đồ để có được câu trả lời đầy đủ mà bạn đang tìm kiếm.

Ngày nay, phương pháp này phổ biến rộng rãi trong toán học và vật lý.

Công dụng đa dạng của ống dẫn

Chẳng hạn, đa tạp đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu biết vũ trụ. Trong thuyết tương đối rộng của mình, Einstein đã mô tả không thời gian như một đa tạp bốn chiều, và trọng lực như độ cong của đa tạp đó. Và không gian ba chiều mà chúng ta nhìn thấy xung quanh cũng là một đa tạp — một đa tạp mà, giống như các đa tạp khác, xuất hiện dưới dạng Euclid đối với những người sống trong đó, mặc dù chúng ta vẫn đang cố gắng tìm hiểu hình dạng tổng thể của nó.

Ngay cả trong những trường hợp dường như không có sự hiện diện của đa tạp, các nhà toán học và vật lý học vẫn cố gắng viết lại các bài toán của họ bằng ngôn ngữ của đa tạp để tận dụng các thuộc tính hữu ích của chúng. “Phần lớn vật lý đều xoay quanh việc hiểu hình học,” Jonathan Sorce , một nhà vật lý lý thuyết tại Đại học Princeton, cho biết. “Và thường là theo những cách đáng ngạc nhiên.”

Hãy xem xét một con lắc kép, bao gồm một con lắc treo ở đầu của một con lắc khác. Những thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu của con lắc kép dẫn đến việc nó tạo ra những quỹ đạo rất khác nhau trong không gian, khiến cho hành vi của nó khó dự đoán và hiểu được. Nhưng nếu bạn biểu diễn cấu hình của con lắc chỉ bằng hai góc (một góc mô tả vị trí của mỗi cánh tay), thì không gian của tất cả các cấu hình có thể trông giống như một hình bánh rán, hay hình xuyến – một đa tạp. Mỗi điểm trên hình xuyến này biểu diễn một trạng thái có thể có của con lắc; các đường trên hình xuyến biểu diễn các quỹ đạo mà con lắc có thể đi theo trong không gian. Điều này cho phép các nhà nghiên cứu chuyển đổi các câu hỏi vật lý của họ về con lắc thành các câu hỏi hình học, làm cho chúng trực quan hơn và dễ giải quyết hơn. Đây cũng là cách họ nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, robot, hạt lượng tử, và nhiều hơn nữa.

Tương tự, các nhà toán học thường xem các nghiệm của các phương trình đại số phức tạp như một đa tạp để hiểu rõ hơn các thuộc tính của chúng. Và họ phân tích các tập dữ liệu đa chiều—chẳng hạn như những tập dữ liệu ghi lại hoạt động của hàng nghìn tế bào thần kinh trong não—bằng cách xem xét các điểm dữ liệu đó có thể nằm trên một đa tạp có chiều thấp hơn như thế nào.

Sorce nói, việc hỏi các nhà khoa học sử dụng đa tạp như thế nào cũng giống như hỏi họ sử dụng số như thế nào. "Chúng là nền tảng của mọi thứ."

Bài viết gốc được đăng lại với sự cho phép của Quanta Magazine , một ấn phẩm độc lập về mặt biên tập của Quỹ Simons, với sứ mệnh nâng cao hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách đưa tin về các phát triển và xu hướng nghiên cứu trong toán học, khoa học vật lý và khoa học sinh học.